
В 1993 году окончил Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. В 1999 году Пучков получил степень MBA в Высшей школе международного бизнеса при Академии народного хозяйства при правительстве РФ. В 2003 году окончил Финансовую академию при правительстве РФ.
В 2006 году Пучков занял должность финансового директора Urban Group, а в 2008 году стал генеральным директором холдинга. Этот пост он покинул в апреле 2018 года.
2 августа 2018 года Савеловский районный суд Москвы заочно арестовал Андрея Пучкова. Следственный комитет РФ обвинил сбежавшего из России предпринимателя в злоупотреблении полномочиями. Он был объявлен в международный розыск. Ему вменяется часть 2 статьи 201 УК РФ, максимальное наказание по которой составляет 10 лет лишения свободы.