
В 1983-1988 годах учился в Военном инженерном институте имени А. Ф. Можайского по специальности инженер-программист, но не закончил его. Затем проходил службу в Вооруженных Силах СССР и РФ. В 1995 году окончил факультет переподготовки Высшей школы экономики, получив квалификацию экономиста.
С 1993 года работал программистом в филиале иркутского Старательского коммерческого банка, с 1996 года по 2000 год — программистом в Банке «Российский Кредит». В 1995 году основал аудиторскую компанию «РК-Аудит». В 2000-2008 годах был управляющим банка «Квота» («Айви банк»), который приобрел в 1998 году за 700 тысяч долларов.
В 2003 году запустил сервис личных дневников Li.ru, а в 2005 объединив вместе с другим собственным проектом Rax.ru создал интернет-сервис Liveinternet с собственной платформой для ведения блогов. В январе 2014 года им был запущен агрегатор новостей на основе данных из социальных сетей «Медиаметрикс». В июне 2013 года стал президентом Ассоциации Развития Электронной Коммерции АРЭК. В феврале 2015 года он возглавил Институт развития интернета. С января 2016 года стал советником президента РФ Владимира Путина.
Газета «Ведомости» в январе 2016 года сообщила со ссылкой на «двух знакомых» Клименко, что он через аффилированных лиц владел торрент-трекером Torrnado.ru, распространяющим пиратский контент (в частности, предлагающим скачать фильмы, которые недавно вышли в прокат) и рекламирующимся на заглавной странице Liveinternet.
По собственным словам, является мещанином, и "если для того, чтобы в холодильнике была черная икра, нужно кричать «Путин велик!», то я буду кричать".